如果已知線性離散系統(tǒng)在階躍輸入下輸出的z變換y(z)，那么，對(duì)y(z)進(jìn)行z的反變換，就可獲得動(dòng)態(tài)響應(yīng)y*(t)。將y*(t)連成光滑曲線，就可得到系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)(即超調(diào)量σ%與過(guò)渡過(guò)程時(shí)間ts)，如圖1所示。
圖1 線性離散系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)
一般，采樣系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)可以寫(xiě)成如下形式
(1)
式中zi與pj分別表示閉環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)。
當(dāng)單位階躍信號(hào)輸入時(shí)，系統(tǒng)的輸出為
(2)
對(duì)上式取逆z變換，得采樣系統(tǒng)的輸出響應(yīng)，其中包含穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，及由實(shí)極點(diǎn)和復(fù)極點(diǎn)所引起的暫態(tài)響應(yīng)。
1.閉環(huán)實(shí)極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響
系統(tǒng)的實(shí)極點(diǎn)均在z平面的實(shí)軸上，每一個(gè)實(shí)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)暫態(tài)響應(yīng)分量。由于實(shí)極點(diǎn)的位置不同，因而對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響也不同，如圖4.9所示。
(1)極點(diǎn)在單位圓外的正實(shí)軸上，例如p1>1，對(duì)應(yīng)的暫態(tài)響應(yīng)分量y1(kt)單調(diào)發(fā)散。
(2)極點(diǎn)在單位圓與正實(shí)軸的交點(diǎn)，例如p2=1，它對(duì)應(yīng)的暫態(tài)響應(yīng)y2(kt)是等幅的。
(3)極點(diǎn)在單位圓內(nèi)的正實(shí)軸上，例如0<p3<1，它對(duì)應(yīng)的暫態(tài)響應(yīng)y3(kt)單調(diào)衰減。
(4)極點(diǎn)在單位圓內(nèi)的負(fù)實(shí)軸上，例如-1<p4<0，它對(duì)應(yīng)的暫態(tài)響應(yīng)y4(kt)是正負(fù)交替的衰減振蕩(周期為2t)。
(5)極點(diǎn)在單位圓與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)，例如p5=-1，它對(duì)應(yīng)的暫態(tài)響應(yīng)y5(kt)是正負(fù)交替的等幅振蕩(周期為2t)。
(6)極點(diǎn)在單位圓外的負(fù)實(shí)軸上，例如p6<-1，它對(duì)應(yīng)的暫態(tài)響應(yīng)y6(kt)是正負(fù)交替的發(fā)散振蕩(周期為2t)。
圖2 實(shí)極點(diǎn)位置和動(dòng)態(tài)響應(yīng)之間的關(guān)系
2.閉環(huán)復(fù)極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響
圖2可以說(shuō)明系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能。
(1)復(fù)極點(diǎn)在z平面單位圓外，對(duì)應(yīng)的暫態(tài)響應(yīng)是振蕩發(fā)散的。
(2)復(fù)極點(diǎn)在z平面單位圓上，故對(duì)應(yīng)的暫態(tài)響應(yīng)是等幅振蕩。
(3)復(fù)極點(diǎn)在z平面單位圓內(nèi)，故對(duì)應(yīng)的暫態(tài)響應(yīng)是振蕩衰減的。
綜上所述，對(duì)離散系統(tǒng)的極點(diǎn)分布作如下討論：
① 為使離散系統(tǒng)具有滿(mǎn)意的瞬態(tài)特性，其閉環(huán)極點(diǎn)應(yīng)盡量避免分布在z平面單位圓的左半部，尤其不要靠近負(fù)實(shí)軸。閉環(huán)極點(diǎn)最好分布在z平面單位圓的右半部，尤為理想的是分布在靠近原點(diǎn)的地方，由于這時(shí)｜zj｜值較小，所以相應(yīng)的瞬態(tài)過(guò)程較快，即離散系統(tǒng)對(duì)輸入具有快速響應(yīng)的性能。
② 通過(guò)分析可知，極點(diǎn)越接近z平面的單位圓，瞬態(tài)響應(yīng)衰減越慢。假如有一對(duì)極點(diǎn)最靠近單位圓，而其他零極點(diǎn)均在原點(diǎn)附近，離這一對(duì)極點(diǎn)相當(dāng)遠(yuǎn)，則系統(tǒng)響應(yīng)主要由這一對(duì)極點(diǎn)決定，所以這一對(duì)極點(diǎn)稱(chēng)為主導(dǎo)極點(diǎn)對(duì)。這時(shí)，可忽略原點(diǎn)附近極點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)分量，而考慮主導(dǎo)極點(diǎn)引起的瞬態(tài)分量。
圖3 閉環(huán)復(fù)極點(diǎn)位置和系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)之間的關(guān)系
〖例1〗 求例的階躍響應(yīng)。
解： 因?yàn)殚]環(huán)脈沖函數(shù)為
故對(duì)應(yīng)離散系統(tǒng)階躍響應(yīng)程序?yàn)?
matlab program
num=[0.368 0.264]；
den=[1 –1 0.632]；
dstep(num,den,50)
右圖為對(duì)應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。由兩圖可以看出當(dāng)采樣周期較大時(shí)（如t=1s），離散系統(tǒng)性能變差，此時(shí)應(yīng)該采用專(zhuān)門(mén)的設(shè)計(jì)方法來(lái)設(shè)計(jì)。當(dāng)采樣周期較小時(shí)（如t=0.1s），離散系統(tǒng)的性能與連續(xù)系統(tǒng)一樣。
（a） (b)
圖2 階躍響應(yīng)曲線仿真圖