下面討論當(dāng)系統(tǒng)所有狀態(tài)不能完全直接觀測時用全維觀測器觀測出的狀態(tài)進行狀態(tài)反饋的設(shè)計問題。
以單輸入單輸出系統(tǒng)為例
(1)
該系統(tǒng)完全能控完全能觀測。設(shè)計的問題是：
1、用狀態(tài)估計值反饋與用真實狀態(tài)反饋系統(tǒng)性能是否一致?
2、狀態(tài)反饋增益矩陣k和觀測器輸出誤差反饋矩陣h如何設(shè)計?
先來討論問題1。
用x(k)反饋時，閉環(huán)系統(tǒng)為
(2)
其中，v(k)為參考輸入
用反饋時，狀態(tài)觀測器為
(3)
閉環(huán)系統(tǒng)為
(4)
若，比較式(2)和(4)可以看出閉環(huán)系統(tǒng)系數(shù)矩陣未變，均為a-bk，這種情況下，反饋系統(tǒng)與x(k)反饋系統(tǒng)完全相同。
若，反饋系統(tǒng)比 反饋系統(tǒng)多了一個輸入量，觀測器設(shè)計過程中對h的選擇保證了對系統(tǒng)來說相當(dāng)于一個很快衰減的擾動量，只對系統(tǒng)產(chǎn)生瞬態(tài)的影響。
下面討論問題2中k、h的設(shè)計。
通過前面的對比可以定性地看出
(1) 用反饋與用x(k)反饋，閉環(huán)系統(tǒng)極點不發(fā)生變化。如果(a，b)能控，用反饋同樣可以選擇k陣進行極點的任意配置，不受h陣影響。即使用觀測器不影響狀態(tài)反饋配置好的閉環(huán)極點。
(2) 狀態(tài)觀測器狀態(tài)方程的形式與引入狀態(tài)反饋前一樣。因此，觀測器極點的選擇不受狀態(tài)反饋系數(shù)陣k選擇的影響。
綜合上述兩點，有如下定理存在。
定理 (分離定理) 若系統(tǒng)能控又能觀，可以先通過閉環(huán)極點要求選擇狀態(tài)反饋系數(shù)矩陣k，然后可按觀測器狀態(tài)偏差衰減速率要求獨立地選擇觀測器輸出誤差反饋系數(shù)矩陣h，而h不會影響已配置好的閉環(huán)極點。也就是說，k和h可以分別獨立設(shè)計，互不影響。
當(dāng)采用降維觀測器時，上述的結(jié)論同樣適用。
〖例〗 給定二階系統(tǒng)狀態(tài)方程為
其中t為采樣周期，t=0.1s。試設(shè)計帶有全維狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋，使閉環(huán)系統(tǒng)極點為，觀測器極點均位于z平面的原點。
解 先設(shè)計狀態(tài)反饋系數(shù)矩陣k。
令，則閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為
期望特征方程為
比較上兩式對應(yīng)次冪項系數(shù)得，于是有。
再設(shè)計輸出誤差反饋增益陣。令，計算
所以狀態(tài)估計誤差系統(tǒng)特征方程為
期望狀態(tài)估計誤差系統(tǒng)特征方程為 z2=0
因此有h1=2，h2=10，于是可得。