圖1是最少拍控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖,其中h0(s)為零階保持器，gp(s)為被控對(duì)象，d(z)即為待設(shè)計(jì)的最少拍控制器。
圖1 最少拍隨動(dòng)系統(tǒng)框圖
定義廣義被控對(duì)象的脈沖傳遞函數(shù)為
這里，廣義被控對(duì)象的脈沖傳遞函數(shù)在z平面單位圓上及單位圓外沒有極點(diǎn)，且不含有純滯后環(huán)節(jié)。
閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為
(1)
誤差脈沖傳遞函數(shù)
(2)
則有
(3)
根據(jù)式(2)知
(4)
將其展開如下形式：
(5)
根據(jù)最少拍控制器的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，系統(tǒng)輸出應(yīng)在有限拍n拍內(nèi)跟蹤上系統(tǒng)輸入，即i≥n之后，e(i)=0，也就是說，e(z)只有有限項(xiàng)。
由式(4)可知，e(z)與系統(tǒng)特性φe(z)及輸入信號(hào)r(z)有關(guān)。因此，在不同輸入信號(hào)r(z)作用下，本著使e(z)項(xiàng)數(shù)最少的原則，選擇合適的φe(z)，即可設(shè)計(jì)出最少拍無差系統(tǒng)控制器。
常見的典型輸入信號(hào)有：
單位階躍輸入
單位速度輸入
單位加速度輸入
單位重加速度輸入
……
一般地，典型輸入信號(hào)的z變換具有如下形式：
(6)
式中，a(z-1)是不包含(1-z-1)因式的z-1的多項(xiàng)式。
將式(6)代入式(4),得到
（7）
因此，從準(zhǔn)確性要求來看，為使系統(tǒng)對(duì)式(6)的典型輸入無穩(wěn)態(tài)誤差，φe(z)應(yīng)具有的一般形式為：
(8)
式中，f(z-1)是不含(1-z-1)因式的z-1的有限多項(xiàng)式。選擇合適的φe(z)就是選擇合適的p及f(z-1)。式(8)及式(3)是設(shè)計(jì)最少拍控制系統(tǒng)的一般公式。
為使要設(shè)計(jì)的數(shù)字控制器形式最簡(jiǎn)單、階數(shù)最低，應(yīng)取f(z-1)=1，這樣e(z)中關(guān)于z-1的項(xiàng)數(shù)才會(huì)最少。下面分別討論不同輸入下的情況。
(1) 單位階躍輸入
為使e(z)項(xiàng)數(shù)最少，選擇φe(z)=1-z-1，即p=1，f(z-1)=1，使φe(z)具有最簡(jiǎn)形式，則
由z變換定義可知e(t)為單位脈沖函數(shù)，即
也就是說，系統(tǒng)經(jīng)過1拍，輸出就可以無差地跟蹤上輸入的變化,即此時(shí)系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間ts=t，t為系統(tǒng)采樣時(shí)間。誤差及輸出系列如圖2所示。
圖2 單位階躍輸時(shí)的誤差及輸出序列
(2) 單位速度輸入
由式(7)易知，選擇p=2, f(z-1)=1, 則φe(z)=(1-z-1)2，可使e(z)具有最簡(jiǎn)形式：
則e(0)=0,e(t)=t,e(2t)=e(3t)=e(4t)=…=0
即系統(tǒng)經(jīng)過2拍，輸出無差地跟蹤上輸入，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間ts=2t。誤差及輸出序列如圖3所示。
圖3 單位速度輸入時(shí)的誤差及輸出序列
(3) 單位加速度輸入
由式(7)可知，選擇p=3，f(z-1)=1，即φe(z)=(1-z-1)3，可使e(z)有最簡(jiǎn)形式：
也就是說，經(jīng)過3拍，系統(tǒng)的輸出可以無差地跟蹤上輸入,即系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間ts=3t。誤差及輸出序列如圖4所示。
圖4 單位加速度輸入時(shí)的誤差及輸出序列
由上面討論可以看出，最少拍控制器設(shè)計(jì)時(shí)，φe(z)或φ(z)的選取與典型輸入信號(hào)的形式密切相關(guān)，即對(duì)于不同的輸入r(z)，要求使用不同的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。所以這樣設(shè)計(jì)出的控制器對(duì)各種典型輸入信號(hào)的適應(yīng)能力較差。若運(yùn)行時(shí)的輸入信號(hào)與設(shè)計(jì)時(shí)的輸入信號(hào)形式不一致，將得不到期望的最佳性能。
例如，當(dāng)φ(z)是按單位速度輸入信號(hào)設(shè)計(jì)時(shí)，有
從前面討論可知，系統(tǒng)輸出經(jīng)2拍在采樣點(diǎn)處無差地跟蹤上輸入。
保持按此選擇設(shè)計(jì)的d(z)不變，對(duì)應(yīng)另兩種典型輸入時(shí)的輸出如下：
階躍輸入：
單位加速度輸入：
響應(yīng)曲線如圖5所示。
圖5 按單位速度輸入設(shè)計(jì)的最少拍系統(tǒng)的響應(yīng)序列