圖1所示是一rc串聯(lián)電路。可分三種響應(yīng)對(duì)其進(jìn)行暫態(tài)分析。
1、零狀態(tài)響應(yīng)
圖1 rc電路
所謂rc電路的零狀態(tài)，是指換路前電容元件未儲(chǔ)有能量，即 。在此條件下，由電源激勵(lì)所產(chǎn)生的電路的響應(yīng)，稱為零狀態(tài)響應(yīng)。
在圖1中，如果在t=0時(shí)將開關(guān)s合到位置1上，電路即與一恒定電壓為u的電壓源接通，對(duì)電容元件開始充電，其上電壓為 。
根據(jù)基爾霍夫電壓定律，列出 時(shí)電路的微分方程
(1)
上式的通解有兩個(gè)部分：一個(gè)是特解 ，一個(gè)是補(bǔ)函數(shù) 。
特解取電路的穩(wěn)態(tài)值，或稱穩(wěn)態(tài)分量，即
補(bǔ)函數(shù)是齊次微分方程
的通解，其形式為
代入上式，得特征方程
其根為
式中， ，它具有時(shí)間的量綱，所以稱為rc電路的時(shí)間常數(shù)。
因此，式(1.37)的通解為
圖2零狀態(tài)響應(yīng)
設(shè)換路前電容元件未儲(chǔ)有能量，即初始值 ，則 ，于是得
(2)
其隨時(shí)間的變化曲線如圖2所示。
當(dāng) 時(shí)
即從t=0經(jīng)過一個(gè)τ的時(shí)間 增長到穩(wěn)定值u的63.2%。
從理論上講，電路只有經(jīng)過t=∞的時(shí)間才能達(dá)到穩(wěn)定。但是，由于指數(shù)曲線開始變化較快，而后逐漸緩慢。所以，實(shí)際上經(jīng)t=5τ的時(shí)間，就足可認(rèn)為達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)了。τ愈小，曲線的增長就愈快。
由式(2)也可求出 和 ，即
(3)
(4)
2、零輸入響應(yīng)
所謂rc電路的零輸入，是指無電源激勵(lì)，輸入信號(hào)為零。在此條件下，由電容元件的初始狀態(tài) 所產(chǎn)生的電路的響應(yīng)，稱為零輸入響應(yīng)。
如果在圖3中，當(dāng)電容元件充電到 時(shí)，即將開關(guān)s從位置1合到2，脫離電源(輸入為零)，電容元件開始放電，穩(wěn)態(tài)值 [初始值 ]，則經(jīng)求解可得
(5)
其隨時(shí)間的變化曲線如圖4所示。
圖3 rc電路
圖4 零輸入響應(yīng)
當(dāng)t=τ時(shí)
即從t=0經(jīng)過一個(gè)τ的時(shí)間uc衰減到初始值 的36.8%。τ愈小，衰減愈快。
由式 (5)也可求出
(6)
(7)
上兩式中的負(fù)號(hào)表示放電電流的實(shí)際方向與圖1中所選定的參考方向相反。
3、全響應(yīng)
如果在圖5中，電容元件初始電壓為 ，t=0時(shí)，將開關(guān)s從位置合到2，電路即進(jìn)入全響應(yīng)。
圖5rc電路
所謂rc電路的全響應(yīng)，是指電源激勵(lì)和電容元件的初始狀態(tài) 均不為零時(shí)電路
的響應(yīng)，也就是零狀態(tài)響應(yīng)與零輸入響應(yīng)兩者的疊加。
(8)
由式 (8)可寫出分析一階線性電路暫態(tài)過程中任意變量的一般公式，即
(9)
只要求得初始值 、穩(wěn)態(tài)值 和電路時(shí)間常數(shù)τ這三個(gè)“要素”，就能直接寫出電路的響應(yīng)(電壓或電流)。這就是一階線性電路暫態(tài)分析的三要素法。