利用狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置，需要利用系統(tǒng)的全部狀態(tài)變量。然而系統(tǒng)的狀態(tài)變量并不都是能夠易于用物理方法量測出來的，有些根本就無法量測；甚至一些中間變量根本就沒有常規(guī)的物理意義。此種情況下要在工程上實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋，就需要對系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)，即構(gòu)造狀態(tài)觀測器。狀態(tài)觀測器，是一個(gè)在物理上可以實(shí)現(xiàn)的動態(tài)系統(tǒng)，它利用待觀測系統(tǒng)的可以量測得到的輸入和輸出信息來估計(jì)待觀測系統(tǒng)的狀態(tài)變量，以便用該組狀態(tài)變量的估計(jì)值來代替待觀測系統(tǒng)的真實(shí)狀態(tài)變量進(jìn)行狀態(tài)反饋設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)的再配置。
1. 全維狀態(tài)觀測器
當(dāng)對象的所有狀態(tài)均不可直接量測時(shí)，若要進(jìn)行狀態(tài)反饋設(shè)計(jì)，就需對全部狀態(tài)變量進(jìn)行觀測。這時(shí)構(gòu)造的狀態(tài)觀測器，其階次與對象的階次相同，被稱為全維狀態(tài)觀測器?？紤]如下n階單輸出線性定常離散系統(tǒng)
(1)
其中，a為n×n維系統(tǒng)矩陣， b為n×r輸入矩陣，c為n×1維輸出矩陣。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。
圖1 全維狀態(tài)觀測器
構(gòu)造一個(gè)與受控系統(tǒng)具有相同參數(shù)的動態(tài)系統(tǒng)
(2)
當(dāng)系統(tǒng)(1)與(2)的初始狀態(tài)完全一致時(shí)，則兩個(gè)系統(tǒng)未來任意時(shí)刻的狀態(tài)也應(yīng)完全相同。但在實(shí)際實(shí)現(xiàn)時(shí)，不可能保證二者初始狀態(tài)完全相同。為此，應(yīng)引入兩個(gè)系統(tǒng)狀態(tài)誤差反饋信號構(gòu)成狀態(tài)誤差閉環(huán)系統(tǒng)，通過極點(diǎn)配置使誤差系統(tǒng)的狀態(tài)漸趨于零。由于原受控系統(tǒng)狀態(tài)不可直接量測，故用二個(gè)系統(tǒng)的輸出誤差信號代替。
引入了輸出誤差的狀態(tài)觀測器狀態(tài)方程為
(3)
其中，h為狀態(tài)觀測器的輸出誤差反饋系數(shù)矩陣,有如下形式
定義狀態(tài)估計(jì)誤差為，用式(7.65)與(7.67)相減可得
(4)
即
(5)
通過式(5)可以看出，若選擇合適的輸出誤差反饋矩陣h使得狀態(tài)估計(jì)誤差系統(tǒng)(5)的所有極點(diǎn)均位于z平面單位圓內(nèi)，則誤差可在有限拍內(nèi)趨于零，即狀態(tài)估計(jì)值在有限拍內(nèi)可以跟蹤上真實(shí)狀態(tài)，且極點(diǎn)越靠近原點(diǎn)狀態(tài)估計(jì)誤差趨于零的速度越快，反之越慢。可見，能否逼近x(k)以及逼近速度是由h陣決定的。
前面提到過，利用狀態(tài)反饋進(jìn)行系統(tǒng)極點(diǎn)任意配置的充要條件是原系統(tǒng)能控。應(yīng)用對偶原理，則易知通過選擇h使系統(tǒng)(5)極點(diǎn)可以任意配置的充要條件是線性定常離散系統(tǒng)(a，b，c)完全能觀測。
若指定狀態(tài)觀測器的特征值為，即期望的特征方程為
(6)
狀態(tài)觀測器的特征多項(xiàng)式為
(7)
比較式(6)和(7)兩邊z各次冪項(xiàng)的系數(shù)可得到一個(gè)n元方程組，從中可容易求得輸出誤差反饋系數(shù)矩陣h。
〖例1〗 已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程
若所有狀態(tài)皆不能直接量測，試設(shè)計(jì)—狀態(tài)觀測器并使觀測器極點(diǎn)設(shè)置為。
解：采用如圖1所示狀態(tài)觀測器結(jié)構(gòu)，則觀測器系統(tǒng)矩陣為
狀態(tài)觀測器特征多項(xiàng)式為
觀測器期望特征多項(xiàng)式為
令比較各次冪項(xiàng)系數(shù)得
解得輸出誤差反饋系數(shù)矩陣為
2. 降維狀態(tài)觀測器
系統(tǒng)狀態(tài)能觀是指系統(tǒng)的各個(gè)狀態(tài)在有限拍內(nèi)可通過輸出y(k)觀測出來。有些狀態(tài)在任意時(shí)刻可在輸出中直接觀測出來，這種狀態(tài)稱為直接能觀。在輸出矩陣中不為0的元素所對應(yīng)的狀態(tài)即是可直接觀測的。
一般地，已知n維系統(tǒng)是能觀測的，其輸出矩陣的秩是m，則說明系統(tǒng)狀態(tài)有m個(gè)是可以直接觀測的，不需要對系統(tǒng)的n個(gè)狀態(tài)全部進(jìn)行觀測，而只需對另外n-m個(gè)狀態(tài)進(jìn)行觀測即可。即可用(n-m)維狀態(tài)觀測器代替全維狀態(tài)觀測器。這種維數(shù)低于被控系統(tǒng)狀態(tài)向量的觀測器稱為降維觀測器。
下面以單輸入多輸出系統(tǒng)為例介紹降維觀測器的設(shè)計(jì)。
(1) 系統(tǒng)模型預(yù)處理。
已知n維線性定常離散系統(tǒng)(a，b，c)能觀測
(8)
其中，x(k)為n維狀態(tài)向量，y(k)為m維輸出列向量。
① 狀態(tài)分解
先將狀態(tài)x(k)分解成兩部分：可直接測量部分 維)；不能直接測量需重構(gòu)部分 維）。即
(9a)
(9a)
其中，a11為(n-m)×(n-m)維；a12為(n-m)×m維；a21為m×(n-m)維；a21為(n-m)×m維；b1為(n-m)×1維； b2為m×1維。
則狀態(tài)方程又可以寫為：
(10a)
(10a)
因x2(k)直接能觀測，所以式(7.74a)，即是待觀測狀態(tài)變量的狀態(tài)方程。為了用可直接觀測x2(k)估計(jì)不可直接觀測的x1(k)，引入一個(gè)虛擬輸出
(11)
② 觀測器模型結(jié)構(gòu)
整個(gè)系統(tǒng)的降維狀態(tài)觀測器實(shí)際上相當(dāng)于全維觀測器的子系統(tǒng)。因此采用與全維觀測器相同的輸出誤差反饋思想，構(gòu)造降維觀測器，其結(jié)構(gòu)如圖2所示。
圖2 降維狀態(tài)觀測器結(jié)構(gòu)
觀測器模型為
(12a)
(7.76b)
令觀測器狀態(tài)誤差,同全維觀測器情況類似，有
(13)
系統(tǒng)的降維觀測器相當(dāng)于下面系統(tǒng)的同維觀測器：
(14a)
(14b)
如果式(7.78)描述的子系統(tǒng)能觀測，則可通過選擇h陣來任意配置的極點(diǎn)，以滿足觀測器狀態(tài)逼近真實(shí)系統(tǒng)狀態(tài)的速度的要求?？梢宰C明，該子系統(tǒng)是能觀測的。也就是說，如果系統(tǒng)全維狀態(tài)觀測器存在，則降維觀測器一定存在?？梢酝ㄟ^選h矩陣來任意配置狀態(tài)估計(jì)誤差系統(tǒng)的極點(diǎn)。
(2) 降維觀測器實(shí)現(xiàn)
將z表達(dá)式(12)代入觀測器方程(13a)中，得
(15)
上式中，可直接得到，但最后一項(xiàng)實(shí)現(xiàn)有困難，因是預(yù)測值。這時(shí)可采用圖3結(jié)構(gòu)變換法，則得到降維狀態(tài)觀測器實(shí)現(xiàn)的結(jié)構(gòu)如圖4所示。
圖3降維狀態(tài)觀測器實(shí)現(xiàn)的結(jié)構(gòu)變換法示意圖
圖4 降維狀態(tài)觀測器的實(shí)現(xiàn)