在科學(xué)實(shí)驗(yàn)與生產(chǎn)實(shí)踐的過(guò)程中，為了獲取表征被研究對(duì)象的特征的定量信息，必須準(zhǔn)確地進(jìn)行測(cè)量。在測(cè)量過(guò)程中，由于各種原因，測(cè)量結(jié)果和待測(cè)量的客觀真值之間總存在一定差別，即測(cè)量誤差。因此，分析誤差產(chǎn)生的原因，如何采取措施減少誤差，使測(cè)量結(jié)果更加準(zhǔn)確，對(duì)實(shí)驗(yàn)人員及科技工作者來(lái)說(shuō)是必須了解和掌握的。
一、 差的來(lái)源與分類(lèi)
1．測(cè)量誤差的來(lái)源
測(cè)量誤差的來(lái)源主要有以下幾個(gè)方面：
（1） 儀器誤差
儀器誤差是指測(cè)量?jī)x器本身的電氣或機(jī)械等性能不完善所造成的誤差。顯然，消除儀器誤差的方法是配備性能優(yōu)良的儀器并定時(shí)對(duì)測(cè)量?jī)x器進(jìn)行校準(zhǔn)。
（2） 使用誤差也稱(chēng)操作誤差
指測(cè)量過(guò)程中因操作不當(dāng)而引起的誤差。減小使用誤差的辦法是測(cè)量前詳細(xì)閱讀儀器的使用說(shuō)明書(shū)，嚴(yán)格遵守操作規(guī)程，提高實(shí)驗(yàn)技巧和對(duì)各種儀器和操作能力。
例如：萬(wàn)用表表盤(pán)上的符號(hào)：⊥；∏；∠60o分別表示萬(wàn)用表垂直位置使用；水平位置使用；與水平面傾斜成60o使用。使用時(shí)應(yīng)按規(guī)定放置萬(wàn)用表，否則會(huì)帶來(lái)誤差，至于用歐姆檔測(cè)電阻前不調(diào)零所帶來(lái)的誤差，更是顯而易見(jiàn)的。
（3） 方法誤差又稱(chēng)理論誤差
它是指由于使用的測(cè)量方法不完善、理論依據(jù)不嚴(yán)密、對(duì)某些經(jīng)典測(cè)量方法作了不適當(dāng)?shù)男薷暮?jiǎn)化所產(chǎn)生的，即凡是在測(cè)量結(jié)果的表達(dá)式中沒(méi)有得到反映的因素，而實(shí)際上這些因素在測(cè)量過(guò)程中又起到一定的作用所引起的誤差。例如，用伏安法測(cè)電阻時(shí)，若直接以電壓表示值與電流表示值之比作測(cè)量結(jié)果，而不計(jì)電表本身內(nèi)阻的影響，就會(huì)引起誤差。
２．測(cè)量誤差的分類(lèi)
測(cè)量誤差按性質(zhì)和特點(diǎn)可分為系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和疏失誤差三大類(lèi)。
（1） 系統(tǒng)誤差
是指在相同條件下重復(fù)測(cè)量同一量時(shí)，誤差的大小和符號(hào)保持不變，或按照一定的規(guī)律變化的誤差。系統(tǒng)誤差一般可通過(guò)實(shí)驗(yàn)或分析方法，查明其變化規(guī)律及產(chǎn)生原因后，可以減少或消除。電子技術(shù)實(shí)驗(yàn)中系統(tǒng)誤差常來(lái)源于測(cè)量?jī)x器的調(diào)整不當(dāng)和使用方法不當(dāng)所致。
(2)隨機(jī)誤差（偶然誤差）
在相同條件下多次重復(fù)測(cè)量同一量時(shí)，誤差大小和符號(hào)無(wú)規(guī)律的變化的誤差稱(chēng)為隨機(jī)誤差。隨機(jī)誤差不能用實(shí)驗(yàn)方法消除。但從隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)規(guī)律中可了解它的分布特性，并能對(duì)其大小及測(cè)量結(jié)果的可靠性作出估計(jì)，或通過(guò)多次重復(fù)測(cè)量，然后取其中算術(shù)平均值來(lái)達(dá)到目的。
(3)粗差
這是一種過(guò)失誤差。這種誤差是由于測(cè)量者對(duì)儀器不了解、粗心，導(dǎo)致讀數(shù)不正確而引起的，測(cè)量條件的突然變化也會(huì)引起粗差。含有粗差的測(cè)量值稱(chēng)為壞值或異常值。必須根據(jù)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法的某些準(zhǔn)則去判斷哪個(gè)測(cè)量值是壞值，然后去除。
二 、 誤差的表示方法
誤差可以用絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差來(lái)表示。
1．絕對(duì)誤差
設(shè)被測(cè)量量的真值為ａo，測(cè)量?jī)x器的示值為x，則絕對(duì)值為
△x＝x－ａo
在某一時(shí)間及空間條件下，被測(cè)量量的真值雖然是客觀存在的，但一般無(wú)法測(cè)得，只能盡量逼近它。故常用高一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量?jī)x器的測(cè)量值ａ代替真值ａo，則
△x＝x－ａ
在測(cè)量前，測(cè)量?jī)x器應(yīng)由高一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)儀器進(jìn)行校正，校正量常用修正值c表示。對(duì)于被測(cè)量量，高一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)儀器的示值減去測(cè)量?jī)x器的示值所得的差值，就是修正值。實(shí)際上，修正值就是絕對(duì)誤差，只是符號(hào)相反
c＝－△x＝ａ－x
利用修正值便可得該儀器所測(cè)量的實(shí)際值
a＝x＋c
例如，用電壓表測(cè)量電壓時(shí)，電壓表的示值為1.1v，通過(guò)鑒定得出其修正值為－0.01v。則被測(cè)電壓的真值為
a＝1.1＋（－0.01）＝1.09v
修正值給出的方式可以是曲線(xiàn)、公式或數(shù)表。對(duì)于自動(dòng)測(cè)驗(yàn)儀器，修正值則預(yù)先編制成有關(guān)程序，存于儀器中，測(cè)量時(shí)對(duì)誤差進(jìn)行自動(dòng)修正，所得結(jié)果便是實(shí)際值。
２．相對(duì)誤差
絕對(duì)誤差值的大小往往不能確切地反映出被測(cè)量量的準(zhǔn)確程度。例如，測(cè)100v電壓時(shí)，△x1＝＋2v，在測(cè)10v電壓時(shí)，△x2＝＝０.5ｖ，雖然△x1＞△x2，可實(shí)際△x1只占被測(cè)量量的２％，而△x2卻占被測(cè)量的5％。顯然，后者的誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響相對(duì)較大。因此，工程上常采用相對(duì)誤差來(lái)比較測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確程度。
相對(duì)誤差又分為實(shí)際相對(duì)誤差、示值相對(duì)誤差和引用（或滿(mǎn)度）相對(duì)誤差。
（1）實(shí)際相對(duì)誤差；是用絕對(duì)誤差△x與被測(cè)量的實(shí)際值a的比值的百分?jǐn)?shù)來(lái)表示的相對(duì)誤差，記為
（2）示值相對(duì)誤差；是用絕對(duì)誤差△x與儀器給出值x的百分?jǐn)?shù)來(lái)表示的相對(duì)誤差，即
（3）引用（或滿(mǎn)度）相對(duì)誤差；是用絕對(duì)誤差△x與儀器的滿(mǎn)刻度值xm之比的百分?jǐn)?shù)來(lái)表示的相對(duì)誤差，即
電工儀表的準(zhǔn)確度等級(jí)就是由 決定的，如1.5級(jí)的電表，表明≤±1.5％。我國(guó)電工儀表按 值共分七級(jí)：0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0。若某儀表的等級(jí)是s級(jí)，它的滿(mǎn)刻度值為xm，則測(cè)量的絕對(duì)誤差為
△x≤xm×s％
其示值相對(duì)誤差為
在上式中，總是滿(mǎn)足x≤xm的，可見(jiàn)當(dāng)儀表等級(jí)s選定后，x愈接近xm時(shí)， 的上限值愈小，測(cè)量愈準(zhǔn)確。因此，當(dāng)我們使用這類(lèi)儀表進(jìn)行測(cè)量時(shí)，一般應(yīng)使被測(cè)量的值盡可能在儀表滿(mǎn)刻度值的二分之一以上。
二、 測(cè)量結(jié)果的處理
測(cè)量結(jié)果通常用數(shù)字或圖形表示。下面分別進(jìn)行討論。
1.測(cè)量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理
（1）有效數(shù)字
由于存在誤差，所以測(cè)量資料總是近似值，它通常由可靠數(shù)字和欠準(zhǔn)數(shù)字兩部分組成。例如，由電流表測(cè)得電流為12.6ma，這是個(gè)近似數(shù)，12是可靠數(shù)字，而末位6為欠準(zhǔn)數(shù)字，即12.6為三位有效數(shù)字。有效數(shù)字對(duì)測(cè)量結(jié)果的科學(xué)表述極為重要。
對(duì)有效數(shù)字的正確表示，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：
①與計(jì)量單位有關(guān)的0不是有效數(shù)字，例如，0.054a與54ma這兩種寫(xiě)法均為兩位有效數(shù)字。
②小數(shù)點(diǎn)后面的0不能隨意省略，例如，18ma與18.00ma是有區(qū)別的，前者為兩位有效數(shù)字，后者則是四位有效數(shù)字。
③對(duì)后面帶0的大數(shù)目數(shù)字，不同寫(xiě)法其有效數(shù)字位數(shù)是不同的，例如，3000如寫(xiě)成30×10 2，則成為兩位有效數(shù)字；若寫(xiě)成3×103，則成為一位有效數(shù)字；如寫(xiě)成3000±1，就是四位有效數(shù)字。
④如已知誤差，則有效數(shù)字的位數(shù)應(yīng)與誤差所在位相一致，即：有效數(shù)字的最后一位數(shù)應(yīng)與誤差所在位對(duì)齊。如；儀表誤差為±0.02v，測(cè)得數(shù)為3.2832v，其結(jié)果應(yīng)寫(xiě)作3.28v。因?yàn)樾?shù)點(diǎn)后面第二位8所在位已經(jīng)產(chǎn)生了誤差，所以從小數(shù)點(diǎn)后面第三位開(kāi)始后面的32已經(jīng)沒(méi)有意義了，寫(xiě)結(jié)果時(shí)應(yīng)舍去。
⑤當(dāng)給出的誤差有單位時(shí)，則測(cè)量資料的寫(xiě)法應(yīng)與其一致。如：頻率計(jì)的測(cè)量誤差為±數(shù)khz，其測(cè)得某信號(hào)的的頻率為7100khz，可寫(xiě)成7.100mhz和7100×103hz，若寫(xiě)成7100000或7.1mhz是不行的。因?yàn)楹笳叩挠行?shù)字與儀器的測(cè)量誤差不一致。]
（2）數(shù)據(jù)舍入規(guī)則
為了使正、負(fù)舍入誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)大致相等，現(xiàn)已廣泛采用小于5舍，大于5入，等于5時(shí)取偶數(shù)的舍入規(guī)則。即
①若保留n位有效數(shù)字，當(dāng)后面的數(shù)值小于第n位的0.5單位就舍去；
②若保留n位有效數(shù)字，當(dāng)后面的數(shù)值大于第n位的0.5單位就在第n位數(shù)字上加1；
③若保留n位有效數(shù)字，當(dāng)后面的數(shù)值恰為第n位的0.5單位，則當(dāng)?shù)趎位數(shù)字為偶數(shù)（0，2，4，6，8）時(shí)應(yīng)舍去后面的數(shù)字（即末位不變），當(dāng)?shù)趎位數(shù)字為奇數(shù)（1，3，5，7，9）時(shí)，第n位數(shù)字應(yīng)加1（即將末位湊成為偶數(shù)）。這樣，由于舍入概率相同，當(dāng)舍入次數(shù)足夠多時(shí)，舍入的誤差就會(huì)抵消。同時(shí)，這種舍入規(guī)則，使有效數(shù)字的尾數(shù)為偶數(shù)的機(jī)會(huì)增多，能被除盡的機(jī)會(huì)比奇數(shù)多，有利于準(zhǔn)確計(jì)算。
（3）有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則
當(dāng)測(cè)量結(jié)果需要進(jìn)行中間運(yùn)算時(shí)，有效數(shù)字的取舍，原則上取決于參與運(yùn)算的各數(shù)中精度最差的那一項(xiàng)。一般應(yīng)遵循以下規(guī)則：
①當(dāng)幾個(gè)近似值進(jìn)行加、減運(yùn)算時(shí)，在各數(shù)中（采用同一計(jì)量單位），以小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最少的那一個(gè)數(shù)（如無(wú)小數(shù)點(diǎn)，則為有效位數(shù)最少者）為準(zhǔn)，其余各數(shù)均舍入至比該數(shù)多一位后再進(jìn)行加減運(yùn)算，結(jié)果所保留的小數(shù)點(diǎn)后的位數(shù)，應(yīng)與各數(shù)中小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最少者的位數(shù)相同。
②進(jìn)行乘除運(yùn)算時(shí)，在各數(shù)中，以有效數(shù)字位數(shù)最少的那一個(gè)數(shù)為準(zhǔn)，其余各數(shù)及積（或商）均舍入至比該因子多一位后進(jìn)行運(yùn)算，而與小數(shù)點(diǎn)位置無(wú)關(guān)。運(yùn)算結(jié)果的有效數(shù)字的位數(shù)應(yīng)取舍成與運(yùn)算前有效數(shù)字位數(shù)最少的因子相同。
③將數(shù)平方或開(kāi)方后，結(jié)果可比原數(shù)多保留一位。
④用對(duì)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，n位有效數(shù)字的數(shù)應(yīng)該用n位對(duì)數(shù)表
⑤若計(jì)算式中出現(xiàn)如e、π、 等常數(shù)時(shí)，可根據(jù)具體情況來(lái)決定它們應(yīng)取的位數(shù)。
2．測(cè)量結(jié)果的曲線(xiàn)處理
在分析兩個(gè)（或多個(gè)）物理量之間的關(guān)系時(shí)，用曲線(xiàn)比用數(shù)字、公式表示常常更形象和直觀。因此，測(cè)量結(jié)果常要用曲線(xiàn)來(lái)表示。在實(shí)際測(cè)量過(guò)程中，由于各種誤差的影響，測(cè)量數(shù)據(jù)將出現(xiàn)離散現(xiàn)象，如將測(cè)量點(diǎn)直接連接起來(lái)，將不是一條光滑的曲線(xiàn)，而是呈折線(xiàn)狀。如圖1.1.1所示，但我們應(yīng)用有關(guān)誤差理論，可以把各種隨機(jī)因素引起的曲線(xiàn)波動(dòng)抹平，使其成為一條光滑均勻的曲線(xiàn)，這個(gè)過(guò)程稱(chēng)為曲線(xiàn)的修勻。
圖1.1.1 直線(xiàn)連接測(cè)量點(diǎn)時(shí)曲線(xiàn)的波動(dòng)情況 圖1.1.2 分組平均法修均曲線(xiàn)
在要求不太高的測(cè)量中，常采用一種簡(jiǎn)便、可行的工程方法--分組平均法來(lái)修勻曲線(xiàn)。這種方法是將各測(cè)量點(diǎn)分成若干組，每組含2－4個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，然后分別估取各組的幾何重心，再將這些重心連接起來(lái)。圖1.1.2就是每組取2－4個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行平均后的修勻曲線(xiàn)。這條曲線(xiàn)，由于進(jìn)行了測(cè)量點(diǎn)的平均，在一定程度上減少了偶然誤差的影響，使之較為符合實(shí)際情況。