在加性高斯白噪聲（awgn）信道中，可以使用匹配濾波器實(shí)現(xiàn)數(shù)字信號(hào)的最佳接收。匹配濾波器是一種最佳線性濾波器，它是在輸出信噪比最大準(zhǔn)則下設(shè)計(jì)的一個(gè)線性濾波器，準(zhǔn)確地說，匹配濾波器使其輸出信噪比在某一特定時(shí)刻上達(dá)到最大值。
匹配濾波器具有特別重要的意義。例如在二進(jìn)制數(shù)字傳輸中，我們關(guān)心的是能夠從噪聲中正確地判斷兩種可能信號(hào)中出現(xiàn)哪一種，判斷時(shí)刻的信噪比愈高，愈有益于作出正確的判決。
一、匹配濾波器原理
設(shè)匹配濾波器的傳輸函數(shù)為，沖激響應(yīng)為，并將匹配濾波器輸入輸出分別記為和，如圖1所示。圖中匹配濾波器輸入為
式中，為匹配濾波器的輸入信號(hào)，噪聲是零均值高斯白噪聲，其雙邊功率譜密度為。
圖1 匹配濾波器原理框圖
根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，匹配濾波器的輸出為
其中，輸出信號(hào)的表達(dá)式為
式中，是輸入信號(hào)的頻譜函數(shù)。
輸出噪聲的平均功率為
則匹配濾波器在時(shí)刻的輸出信號(hào)瞬時(shí)功率與噪聲平均功率之比為
為了尋找一個(gè)以使最大，可將許瓦茲不等式用于上式的分子，有
顯見，當(dāng)為
不等式（6）為等式，此時(shí)有最大可能輸出信噪比為
式中，是信號(hào)的能量。
由此我們得出結(jié)論：在白噪聲干擾的背景下，按設(shè)計(jì)的線性濾波器，將能在給定時(shí)刻上獲得最大的輸出信噪比。由于該線性濾波器的傳輸特性與輸入信號(hào)頻譜的復(fù)共軛相一致，故稱其為匹配濾波器。
求式的傅里葉反變換，得匹配濾波器的單位沖激響應(yīng)為
可見，匹配濾波器的沖激響應(yīng)便是信號(hào)的鏡像信號(hào)在時(shí)間上平移。
作為數(shù)字信號(hào)的接收濾波器，匹配濾波器應(yīng)該是物理可實(shí)現(xiàn)的。對(duì)于線性系統(tǒng)，物理可實(shí)現(xiàn)的條件是：當(dāng)時(shí)，有。
為了滿足物理可實(shí)現(xiàn)條件要求：
即
上式表明，物理可實(shí)現(xiàn)的匹配濾波器，其輸入信號(hào)必須在它輸出最大信噪比的出現(xiàn)時(shí)刻之前消失（等于零）。也就是說，若輸入在時(shí)刻瞬間消失，則只有時(shí)匹配濾波器才是物理可實(shí)現(xiàn)的。一般地，總是希望盡量小些，故通常選擇。
匹配濾波器的輸出信號(hào)波形
上式表明，匹配濾波器的輸出信號(hào)波形是輸入信號(hào)波形的自相關(guān)函數(shù)的k倍。
例1 設(shè)匹配濾波器的輸入信號(hào)是一單個(gè)脈沖，如圖2（a）所示，試求匹配濾波器的特性和輸出信號(hào)波形。
圖2 匹配濾波器的輸入輸出波形及特性
解：令k=1，并取，則匹配濾波器的沖激響應(yīng)為
求的傅里葉變換，得匹配濾波器的傳輸函數(shù)為
若將看作是理想積分器的傳輸函數(shù)，為延遲電路的傳輸函數(shù)，那么，由上式可得到一種與單個(gè)輸入脈沖相匹配的匹配濾波器的實(shí)現(xiàn)方法，如圖3所示。
圖3 單個(gè)矩形脈沖的匹配濾波器
輸出信號(hào)波形為
輸出信號(hào)波形在時(shí)達(dá)到最大值。及分別如圖7.3.2（b）和（c）所示。
二、二進(jìn)制確知信號(hào)的匹配濾波接收
二進(jìn)制數(shù)字信號(hào)中的兩個(gè)不同波形和。在抽樣時(shí)刻對(duì)抽樣值進(jìn)行比較判決，哪個(gè)匹配濾波器的輸出抽樣值大，就判決哪個(gè)為輸出。
匹配濾波器構(gòu)成的接收機(jī)方框圖如圖4所示。圖中，有兩個(gè)匹配濾波器，
圖4 利用匹配濾波器的最佳接收機(jī)方框圖