設(shè)被控對象傳遞函數(shù)為
純滯后時間常數(shù)τ為采樣周期t的整數(shù)倍:τ=nt,g0(s)不包含純滯后特性。
帶零階保持器的廣義對象脈沖傳遞函數(shù)為
待設(shè)計控制器為d(z),如圖1所示。閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為
圖1 純滯后對象控制系統(tǒng)
可見,閉環(huán)傳遞函數(shù)分母中包含有純時間滯后環(huán)節(jié),它會使系統(tǒng)的穩(wěn)定性降低,如果τ足夠大,系統(tǒng)甚至可能變?yōu)椴环€(wěn)定。為此,引入史密斯預(yù)估器將對象進行改造。
史密斯預(yù)估器的設(shè)計步驟如下:
(1)不考慮純滯后,根據(jù)對閉環(huán)系統(tǒng)理想特性要求φ0(z),先構(gòu)造一個無時間滯后的閉環(huán)系統(tǒng)(見圖2)。
圖2 理想閉環(huán)系統(tǒng)
因純滯后特性無法消除,因此理想閉環(huán)系統(tǒng)特性為
此時的數(shù)字控制器
(1)
(2)待設(shè)計的系統(tǒng)如圖1所示,d(z)即為待設(shè)計的數(shù)字控制器。
該系統(tǒng)應(yīng)與圖2系統(tǒng)具有相同的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù),則
求得
(2)
上式即為史密斯預(yù)估器的脈沖傳遞函數(shù),其結(jié)構(gòu)如圖3(a)所示。
圖3 史密斯補償控制系統(tǒng)
將圖3(a)所示系統(tǒng)作如圖3(b)所示的等效變換,可以看出,史密斯預(yù)估器實際上是引入了一個與被控對象并聯(lián)的補償器(1-z-n)g0(z),使得補償以后的等效對象不包含純滯后特性,為g0(z)。因此smith預(yù)估器也稱作smith補償器。經(jīng)過補償后,閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為
(3)
上式中已不包含z-n,因此純滯后的特性不影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。被控對象具有純滯后特性的閉環(huán)控制系統(tǒng)一般是調(diào)節(jié)系統(tǒng),即輸入為階躍函數(shù)。由于補償后的系統(tǒng)應(yīng)與圖1系統(tǒng)等價,因此,對于單位階躍輸入,系統(tǒng)輸出y(kt)的開頭和其他性能指標(biāo)與被控對象不包含純滯后特性e-τs時完全相同,只是在時間軸上滯后τ。如圖4所示。
圖4 純滯后被補償控制系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)