摘要 提出了一種在參數坐標系下自適應步長和行距的計算方法，該算法考慮了不同刀具接觸點處的曲率差異，在滿足加工精度和粗糙度的前提下，又能有效地提高加 工效率。該算法適合加工汽車車身模具等曲率變化大的曲面。文中還給出了刀位計算公式。
關鍵詞 平頭立銑刀 自由曲面 五軸數控加工 刀具軌跡
an algorithm for calculating 5-axis cutter path on sculptured surfaces with flat-end milling cutter
li xiaoping yu daoyuan tang yangping duan zhengcheng
abstract:this paper presents a new algorithm of adaptive step lengt hs and path interval on parametric coordinate system.as the algorithm considers the radius of the curvature difference between different cutter contact points， so it can improve machining efficiency and the accuracy of the finished surface. this algorithm is suitable for machining sculptured surface. a method of calcul ating cutter location point is also presented in this paper.
key words:flat-end milling cutter,seulptured surface,5-axis nc machining,cutter path
1 前言
自由曲面在模具中應用非常廣泛，如汽車車身模具、塑料模、葉片鍛模、鑄模等，大都包含自由曲面（以下簡稱曲面）。曲面的加工通常由球面刀和非球面刀（如平頭立銑刀、錐狀刀、鼓形刀等）完成，由于平頭立銑刀（以下簡稱立銑刀）的切削效率、加工質量、使用壽命等都優(yōu)于球面刀［1］，應優(yōu)先選擇。近幾年來，國內外有關曲面立銑刀五軸數控加工軌跡的算法的研究較多［4～6］，這些算法用微分幾何的方法對步長和行距進行預測，公式簡單，計算量小，但它們沒有考慮相鄰刀具接觸點間曲率的變化，對于加工曲率變化小的曲面比較有效，不適合曲率變化大的曲面。本文提出一種在參數坐標系下自適應步長和行距的計算方法。該算法在滿足加工精度和粗糙度的前提下，又能有效地提高加工效率，適合曲率變化大的曲面的加工。
2 刀具的有效半徑
五軸立銑加工曲面時，由于立銑刀的切削刃在立銑刀的周邊上，所以立銑刀的軸線與曲面的法線之間應當偏置一個刀具半徑，方能有效地切削曲面?？紤]到刀具與曲面干涉等因素，立銑刀在偏置的同時，其軸線在被加工點的法平面內還應與法線夾一角度φ（圖1），n為被切削曲面單位法向矢量，tax為刀具單位軸向矢量，r為刀具半徑，那么，刀具的有效切削半徑定義為：re=rsinφ。在圖1所示的狀態(tài)下，其端面在被加工點的密切面上的投影為長半軸r、短半軸為re的橢圓。若坐標原點在刀具端面的圓心上，以長、短半軸為坐標軸，立銑刀的端面的方程為：
（1）
圖1 刀具有效
為此，立銑刀切削曲面可以看作一把橢圓成形刀在加工曲面。
3 自適應步長的計算
在五坐標數控加工過程中，由于曲面各處的法向矢量是變化的，必然會引起刀具軸向矢量的變化，即刀軸的擺動會使刀具與曲面的接觸點軌跡不是一條直線，而是曲線。所以，五坐標立銑加工誤差δ包括直線逼近誤差δt和刀軸擺動誤差δn（圖2）。本算法選擇曲面某一參數方向（如u向）作為步長進行誤差控制（圖3），點r（wi,0）、r（wi,1）為曲線r（wi,0）r（wi,1）上兩點，連接點r（wi,0）、r（wi,1）成一弦，點r（wi,u）為曲線到弦r（wi,0）r（wi,1）的zui大距離點，計算該點處的直線逼近誤差和刀軸擺動誤差，比較加工誤差δ與允差ε的大小，若δ＞ε，連接新的端點r（wi,u）、r（wi,0）形成新弦r（wi,0）r（wi,u），將新的參數曲線的區(qū)間［0，u］轉換到［0，1］區(qū)間，再次計算加工誤差δ，如此下去，直到δ<ε為止。記下此點δu值，作為加工步長，再以r（u）為新起點，重復計算，即可算出每一點的步長。
圖2 步長誤差的控制
3.1 直線逼近誤差的計算
圖3 直線逼近誤差的計算
如圖3所示，曲線r（wi,0）r（wi,1）的加工實際是通過插補多段內接弦來逼近它?？紤]到加工效率，希望弦長盡量大，弦的段數盡量少，即在滿足精度的情況下取zui大的弦長來逼近，通常的辦法是從曲線的一端開始采用迭代搜索法求取弦的另一端點。連接點r（wi,0）、r（wi,1）成一弦，若弦r（wi,0）r（wi,1）用矢量c表示，d表示曲線上的點到弦r（wi,0）r（wi,1）的zui大距離，即δt=｜d｜。
那么存在：d=r（wi,u）-r（wi,0）-λc?。?）
式中：λ——系數，λ∈［0，1］。
由于c與d垂直，可得到：
cd=0 （3）
聯(lián)立式（2）、（3）解得：
（4）
（5）
上式可以寫成：
d=p［r（wi,u）-r（wi,0）］?。?）
其中，，稱為投影矩陣，i為單位矩陣。
由于在弦向偏差zui大處，曲線切矢垂直于矢量d，即r′（（wi,u）d=0?。?）
故r′（（wi,u）p［r（wi,u）－r（wi,0）］=0?。?）
上式中除兩端點為根外，還有多個根，由于在弦向偏差zui大處，存在：
r′（wi,u）d＜0 （9）
所以把式（8）和u∈（0,1）用于每一個根處，式（7）中滿足式（8）和u∈（0，1）的根即為zui大偏差處相應的u值，因此，可求出δt。
上述算法過程中，首先必須檢查曲線段內有無拐點，并計算出該點的位置。若曲線段有拐點，則以此拐點將曲線一分為二，將兩段參數曲線的區(qū)間［u1,u2］轉換到［0，1］區(qū)間，分別對兩段曲線采用二分法進行迭代。
3.2 刀軸擺動誤差的計算
刀軸擺動誤差是加工過程中，由于刀具軸向矢量擺動引起的非線性誤差（見圖2）。可以證明［6］：
｜δn｜≤re（kf.δsu）?。?0）
式中：kf——直線逼近段內曲面沿進給方向在zui大直線逼近誤差點處的法曲率；
δsu——逼近段弧長。
δsu=∫u2｜r′（wi,u）｜du?。?1）u1
當kf＜0時，加工表面沿走刀方向為凸曲線，刀具接觸點的軌跡為凹曲線，因此，加工誤差為直線逼近誤差和刀軸擺動誤差值之和，即：δ=｜δn｜+｜δt｜。
當kf＜0時，加工表面沿走刀方向為凹曲線，刀具接觸點的軌跡亦為凹曲線，且刀軸擺動誤差｜δn｜總是小于直線逼近誤差｜δt｜，因此，可視直線逼近誤差｜δt｜為加工誤差δ，即：δ=｜δt｜。
4 自適應行距的計算
雖然曲面的形狀各異，但是刀具在加工這些曲面時，都是按照一定的曲線走刀加工出整張曲面的。對于刀具接觸點而言，根據其所在曲線在該點處的曲率大小可以分為三類：凸點、凹點、拐點，在這里將直線上的點也歸為拐點類。凸點、凹點、拐點可以根據其曲率kf的大小加以判別：
當kf＞0時，為凸點；
當kf＜0時，為凹點；
當kf＝0時，為拐點。
與凸點、凹點、拐點相對應，這些點所在的曲線可以分為凸曲線、凹曲線、直線。當刀具的接觸點是凸點、凹點或拐點時，在密切面內，這三類點鄰域的曲線可以分別看成是凸圓弧、凹圓弧和直線。因此，在計算自由曲面的行距時，可以直接在圓弧和直線上加以計算。
圖4a為立銑刀加工凸曲面時的情形，ρ為刀具接觸點處的曲率半徑，δsw為行距，橢圓代表立銑刀，刀具接觸點分別為b、c兩點，即點r（w1,ui）、r（w2,ui），設坐標原點在立銑刀的中心上，那么，a點的坐標為：
x=（ρ+h）sinα
y=（ρ+h）cosα-（ρ+rsin）
（a）凸曲線?。╞）凹曲線?。╟）直線
圖4
由于a點在橢圓上，必滿足式（1）的橢圓方程，即：
這是一個一元二次方程，可解出h：
（12）
對于圖4b，
?。?3）
式（12）、（13）中
α=δsw/（2ρ）?。?4）
其中δsw為弧bc的弧長:
δsw＝∫w2｜r′（w,ui）｜dw?。?5）w1
對于圖4c，
h=rsinφ-sinφ（r2-l2/4）0.5?。?6）
此時，刀具的行距為線段l，即b、c兩點間的距離。
至此，已經推導出了三種情形下殘留高度的計算公式，可分別用式（12）、（13）、（16）計算出這三種情形下的殘留高度。行距的大小就是根據h與ε的比較結果而定的。若h≤ε，那么此時的計算行距δsw就能滿足要求；若h＞ε，那么需要減小δw，直至h≤ε為止。為求得滿足條件的δwmin，由步長算法可得到一組ui值，求出對應的δw值，取其中的zui小的δw即為參數軸上的行距。
5 刀具軌跡的計算
刀具軌跡的計算包括刀具的中心點和刀具軸向矢量的計算。如圖5所示，點a為刀具接觸點，n為曲面在點a處的單位法矢量，tax為刀具單位軸向矢量，tc為由點a指向刀具中心的單位偏置矢量。
圖5 刀具軌跡
因為n、tax、tc均在同一平面上，又tc⊥tax，那么矢量n、tax1、tc1組成一個矢量直角三角形。這里tax1∥tax，tc1∥tc，故：
tc1=n－tax1=n－｜ncosφ｜tax
又cosφ=ntax，故：
tc1=n－（ntax）tax
單位化矢量tc：
tc=tc1/｜tc1｜?。?7）
其中刀具軸矢量tax可將單位法矢量n在a點法平面內旋轉φ角得到，即：
tax=ntr?。?8）
上式中tr為旋轉變換矩陣：
式中：n1、n2、n3——旋轉軸單位矢量的方向余弦。
于是，刀具中心點的軌跡為：
ce=r（w,u）+rtc?。?9）
6 結論
本文采用弦差法計算五軸立銑刀加工曲面的直線逼近誤差，依據微分幾何關系計算在zui大直線逼近誤差處刀軸擺動誤差，由兩者構成的加工誤差來共同控制加工步長，該算法考慮了不同刀具接觸點處的曲率差異。文中還對行距計算公式進行了推導，給出了刀位計算公式。該算法適合加工曲率變化大的曲面。