摘要 介紹了進(jìn)給滾珠絲杠副傳動(dòng)剛度的計(jì)算公式與方法，為確定數(shù)控機(jī)床及精密機(jī)械的定位精度和傳動(dòng)精度提供了設(shè)計(jì)依據(jù)。
關(guān)鍵詞 滾珠絲杠 剛度calculatin driving rigidity of ballscrew for feed
yang zu-xiao（12）
abstract: this article introduces the calculating formula and process of driving rigidity of ballscrew pair for feed. the result supplies a basis to determine positioning accuracy and driving accuracy in design of nc machine tools and precision machines.
key words: ballscrew, rigidity
隨著現(xiàn)代科技的發(fā)展，機(jī)械制造業(yè)正不斷面臨著高速度、高精度等新的挑戰(zhàn)。而低剛度的滾珠絲杠副是導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)丟失的主要原因之一。為了提高數(shù)控機(jī)床及精密機(jī)械的定位精度和傳動(dòng)精度，除了正確設(shè)計(jì)、選擇進(jìn)給系統(tǒng)的各個(gè)部件，計(jì)算其強(qiáng)度、穩(wěn)定性和驅(qū)動(dòng)力矩外，還要對(duì)精密滾珠絲杠副在承受載荷下的剛度進(jìn)行驗(yàn)算，以確保其安全、可靠、穩(wěn)定工作。本文就進(jìn)給滾珠絲杠副的剛度計(jì)算方法進(jìn)行討論，并以實(shí)例說明其實(shí)際應(yīng)用。
1 進(jìn)給滾珠絲杠副的軸向剛度
進(jìn)給滾珠絲杠副軸向剛度表示滾珠絲杠副及其支承部件抵抗其軸向彈性變形的能力。用彈簧常數(shù)k1表示，按下式計(jì)算
k1=f/δ1
式中 k1——進(jìn)給滾珠絲杠副傳動(dòng)系統(tǒng)軸向剛度，
n/μm
f——施加于進(jìn)給絲杠的軸向負(fù)載，n
δ1——進(jìn)給滾珠絲杠副軸向彈性位移，μm
ks——絲杠軸向剛度，n/μm
kn——螺母組件軸向剛度，n/μm
kb——支承軸承軸向剛度，n/μm
kh——螺母支架及軸承支架軸向剛度，n/μm
1.1 絲杠軸向剛度計(jì)算
絲杠的軸向剛度因安裝方式不同而不同。
1.1.1 雙推—支承安裝絲杠的軸向剛度
采用雙推—支承方式安裝絲杠時(shí)，絲杠的軸向剛度隨載荷作用點(diǎn)至雙推支承端的距離變化而改變。其zui小剛度ks按下式計(jì)算
式中 a——絲杠的斷面積，mm2
（d為螺紋小徑，mm）
e——絲杠材料的彈性模量，對(duì)于鋼材
e=2.07×105mpa
la——載荷作用點(diǎn)距雙推支承的zui大距離，mm
附圖a為日本精機(jī)生產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)滾珠絲杠雙推—支承安裝時(shí)的軸向剛度圖。
滾珠絲杠軸向剛度圖
1.1.2 雙推—雙推安裝絲杠的軸向剛度
采用雙推—雙推安裝絲杠時(shí)，其軸向剛度計(jì)算公式為
式中 l——兩雙推支承端距離，mm
由上式可以看出，絲杠采用雙推—雙推方式安裝時(shí)，剛度也是變化的，且在處軸向剛度值z(mì)ui小，其zui小值。
附圖b為日本精機(jī)生產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)滾珠絲杠雙推—雙推安裝時(shí)的軸向剛度圖。
1.2 螺母的剛度
為與多數(shù)生產(chǎn)廠家產(chǎn)品樣本名稱統(tǒng)一，本文仍沿用螺母剛度這一名稱。螺母剛度實(shí)為螺母組件的剛度，包括滾珠和絲杠、螺母螺紋滾道的軸向剛度。
根據(jù)赫茲接觸理論，滾珠和螺紋滾道間的軸向彈性變形量δn按下式計(jì)算
?。?mu;m）式中 α——滾珠的接觸角，（°）
f——軸向載荷，n
d0——滾珠直徑，mm
z——每圈有效載荷滾珠數(shù)
z=πdm/（d0cosφ）
dm——螺母公稱直徑，mm
φ——螺旋升角，（°）
1.2.1 單螺母軸向剛度
進(jìn)給滾珠絲杠副為單螺母時(shí)，如果軸向工作載荷等于30％動(dòng)額定載荷ca，其剛度kn=0.8k′1（k′1為產(chǎn)品樣本尺寸表中給出的剛度值）；如果軸向載荷不等于30％動(dòng)額定載荷ca時(shí)，其軸向剛度按下式計(jì)算
1.2.2 帶預(yù)壓載荷的雙螺母軸向剛度
當(dāng)預(yù)壓載荷fao=0.1ca時(shí)，其剛度kn按下式計(jì)算
kn=0.8k′1
當(dāng)fao≠0.1ca時(shí)，剛度kn計(jì)算公式為
式中 fao——預(yù)壓載荷，n
1.3 支承軸承的剛度kb
不加預(yù)壓載荷時(shí)，軸承軸向剛度按下式計(jì)算
kb=f/δb
式中 f——軸向載荷，n
δb——軸承軸向彈性位移量，μm
施加預(yù)壓載荷時(shí)，軸承軸向剛度計(jì)算公式為
kb=3fao/δao
式中 fao——軸向預(yù)壓載荷，n
δao——在預(yù)壓載荷作用下，軸向彈性位移，μm
各種軸承的軸向彈性位移量δb計(jì)算公式如下：
①自動(dòng)調(diào)心滾珠軸承
②圓錐滾柱軸承
③止推滾珠軸承
式中 α——接觸角，（°）
q——加于軸承一個(gè)滾動(dòng)體上的載荷，n
d0——軸承滾動(dòng)體的直徑，mm
l——軸承滾柱的有效接觸長度，mm
z——軸承滾動(dòng)體個(gè)數(shù)
1.4 螺母及軸承支承部件的剛度kh
螺母支架的剛度，已在螺母剛度計(jì)算時(shí)乘以系數(shù)0.8計(jì)入。
軸承安裝部件的剛度可通過采用高剛度支承部件解決。
2 進(jìn)給滾珠絲杠副的扭轉(zhuǎn)剛度
影響進(jìn)給滾珠絲杠副扭轉(zhuǎn)變形的主要因素是絲杠。下面僅就絲杠的扭轉(zhuǎn)剛度進(jìn)行討論。
絲杠的扭轉(zhuǎn)剛度是指絲杠抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，其計(jì)算公式為
式中 kt——絲杠扭轉(zhuǎn)剛度，n.mm/rad
θ——扭轉(zhuǎn)角，rad
m——扭矩，n.mm
g——絲杠材料抗剪彈性模量，對(duì)鋼材
g=8.24×104mpa
jp——截面慣性矩，對(duì)實(shí)心絲杠，mm4
3 進(jìn)給滾珠絲杠副的傳動(dòng)剛度
在載荷作用下，進(jìn)給滾珠絲杠副的軸向彈性變形為
絲杠的扭轉(zhuǎn)變形為
此角折算成滾珠絲杠副的軸向變形量為
式中 t——滾珠絲杠導(dǎo)程，mm
故滾珠絲杠副總的軸向變形為
由可得
（μm）
式中 k——進(jìn)給滾珠絲杠副傳動(dòng)剛度，n/μm
由于δ2δ1，所以計(jì)算絲杠扭轉(zhuǎn)剛度kt時(shí)，x取以下數(shù)值
4 計(jì)算實(shí)例
一進(jìn)給滾珠絲杠副傳動(dòng)系統(tǒng)采用雙推—支承方式。已知數(shù)據(jù)為：la=1800mm，雙推支承端軸承為背靠背布置的自動(dòng)調(diào)心滾珠軸承，鋼珠直徑5.556mm，鋼珠個(gè)數(shù)z=15，接觸角α=30°，軸承預(yù)緊力fao=3kn；滾珠絲杠型號(hào)為bnfn3612—2.5go，滾珠中心圓直徑dp=37.5mm，滾珠直徑為7.144mm，基本動(dòng)額定載荷ca=27.2kn，預(yù)緊力fao=0.1ca，要求計(jì)算其系統(tǒng)傳動(dòng)剛度。計(jì)算步驟如下：
（1）絲杠軸向剛度計(jì)算
（2）計(jì)算螺母剛度 按已知條件，從產(chǎn)品樣本尺寸表中查得k′1=750n/μm，kn=0.8k′1=0.8×750=600n/μm。
（3）計(jì)算支承軸承剛度 支承軸承為自動(dòng)調(diào)心滾珠軸承且預(yù)緊，因此
（4）螺母支架及軸承座剛度kh 螺母支架剛度已在前面計(jì)算螺母剛度以系數(shù)0.8計(jì)入，在此不予考慮。設(shè)軸承座剛度非常大，即→0，于是，該系統(tǒng)滾珠絲杠副的軸向剛度k1可通過以下計(jì)算求得為
（5）絲杠扭轉(zhuǎn)剛度 由滾珠絲杠型號(hào)可知其導(dǎo)程t=12mm，從產(chǎn)品樣本尺寸表中查得絲杠螺紋小徑d=30.1mm，代入公式計(jì)算得
（6）計(jì)算系統(tǒng)傳動(dòng)剛度 由公式
得k=60（n/μm）